Question

若(

x

+

1

2 4 x

)n展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求：
（1）展開(kāi)式中含x的一次冪的項(xiàng)；
（2）展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，求出前三項(xiàng)系數(shù)，列出方程求出n；令通項(xiàng)中的x=1求出展開(kāi)式中含x的一次冪的項(xiàng)．
（2）令通項(xiàng)中的x為有理數(shù)得到展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng)．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 4 x

)n展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=(

1

2

)r

C

r n

x

2n-3r

4

∴前三項(xiàng)的系數(shù)分別為

C

0 n

 ， 

1

2

C

1 n

 ， 

1

4

C

2 n

成等差數(shù)列，
n=1+

n(n-1)

8

  n²-9n+8=0  n=8或n=1（舍去）
含x的一次項(xiàng)為：T5=

C

4 8

•(

x

)4•(

1

2 4 x

)4=

35

8

x，
（2）所有的有理項(xiàng)為：x4 ， 

35

8

x ， 

1

256x2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．