Question

已知方程x²+2ax+b²=0是關于x的一元二次方程．
（1）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實數根的概率；
（2）若a，b分別是區間[0，3]，[0，2]內的隨機數，求上述方程有實數根的概率．

Answer 1

分析：（1）由一元二次方程的判別式大于等于0得到方程x²+2ax+b²=0有實數根的充要條件為a≥b，用列舉法求出a從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b從0，1，2三個數中任取的一個數的所有基本事件個數，查出滿足a≥b的事件數，然后直接利用古典概型概率計算公式求解；
（2）由題意求出點（a，b）所構成的矩形面積，再由線性規劃知識求出滿足a≥b的區域面積，由測度比是面積比求概率．

解答：解：設事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實數根”．
當a≥0，b≥0時，方程x²+2ax+b²=0有實數根的充要條件為a≥b．
（1）基本事件共12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），
（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．
事件A中包含9個基本事件．
事件A發生的概率為P(A)=

9

12

=

3

4

；
（2）試驗的全部結果所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
如圖，
∴所求的概率P=

3×2- 1 2 ×22

3×2

=

2

3

．

點評：本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了幾何概型的概率，關鍵是理解（2）的測度比，是基礎題．