Question

閱讀下面所給材料：已知數列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n-1+2，求數列的通項a_n．
解：令a_n=a_n-1=x，則有x=3x+2，所以x=-1，故原遞推式a_n=3a_n-1+2可轉化為：
a_n+1=3（a_n-1+1），因此數列{a_n+1}是首項為a₁+1，公比為3的等比數列．
根據上述材料所給出提示，解答下列問題：
已知數列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n-1+4，
（1）求數列的通項a_n；并用解析幾何中的有關思想方法來解釋其原理；
（2）若記S_n=，求S_n；
（3）若數列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+1=100b_n³，利用所學過的知識，把問題轉化為可以用閱讀材料的提示，求出解數列{b_n}的通項公式b_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知材料可令a_n=a_n-1=x，則有x=3x+4，可得x=-2，故原遞推式a_n=3a_n-1+4可轉化為：
a_n+2=3（a_n-1+2），因此數列{a_n+2}是等比數列可求a_n，對于a_n=3a_n-1+4，可以看成把直線y=3x+4的方程改寫成點斜式方程．
（2）令d_k==（）²（-）．利用裂項求和可得S_n==（）²[]，然后求極限．
（3）數列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+i=100b_n³，所以b_n＞0，lgb_n+i=lg（100b_n³）
令c_n=lgb_n，則c_n+1=3c_n+2，從而可求c_n，進一步可求b_n
解答：解：（1）令a_n=a_n-1=x，則有x=3x+4，所以x=-2，故原遞推式a_n=3a_n-1+4可轉化為：
a_n+2=3（a_n-1+2），因此數列{a_n+2}是首項為a₁+2，公比為3的等比數列．
所以a_n+2=（a₁+2）×3^n-1，所以a_n=3ⁿ-2；
對于a_n=3a_n-1+4，可以看成把直線y=3x+4的方程改寫成點斜式方程，
該點就是它與直線y=x的交點．
（2）令d_k==
=（）²=（）²（-）
S_n==d₁+d₂+…+d_n
=（）²[（）+（）+（）++（）]
=（）²[]
S_n=（）²
（3）數列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+i=100b_n³，所以b_n＞0，lgb_n+i=lg（100b_n³）
令c_n=lgb_n，則c_n+1=3c_n+2，
所以c_n+2=3（c_n-1+2），因此數列{c_n+2}是首項為c₁+2，公比為3的等比數列．
所以c_n+2=（c₁+2）×3^n-1，所以c_n=3ⁿ-2，
lgb_n=c_n=3ⁿ-2；b_n=
點評：本題以新定義為載體，主要考查了由形如a_n+1=pa_n+q型的數列的遞推公式，利用構造等比數列的方法求數列的通項公式，關鍵是要靈活利用構造轉化的方法，考查了裂項求和的方法求解數列的和，注意裂項相消后余留下的項是考生容易出現問題的地方．