Question

【題目】已知函數（）在處取得極值．

（1）求的單調區間；

（2）討論的零點個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）見解析

【解析】分析：（1）由題意可得， 則．據此可知的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（2）由（1）知在處取得最大值． 分類討論有：①當時，無零點． ②當時，有一個零點． ③當時，有兩個零點．

詳解：（1）因為，

又，即，解得．

令，即，解得；

令，即，解得．

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（2）由（1）知在處取得最大值．

①當即時，，所以無零點．

②當即時，當且僅當時，，

所以有一個零點．

③當即時，，

因為，且，

又在上單調遞增，所以在上有且只有一個零點．

因為，且，

令，則，

所以在上單調遞減，所以，所以．

又在上單調遞減，所以在上有且只有一個零點．

故當時，有兩個零點．