Question

滿足一定條件的三角形如果周長和面積同時取得最小值（或最大值），則稱此三角形為“周積三角形”．如圖所示的△ABC滿足∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分線，且AD=1．設AB=x，AC=y．
（I）將y表示成x的函數；
（II）判斷此三角形是否為“周積三角形”，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC，結合三角形的面積公式，可得函數解析式；
（II）由（I）知x+y=xy≥2

xy

，所以xy≥4．令t=xy（t≥4），表示出△ABC的周長與面積，可得t=4（x=y=2）時，△ABC的周長和面積同時取得最小值．

解答：解：（1）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC得

1

2

xsin60°+

1

2

ysin60°=

1

2

xysin120°，∴x+y=xy，∴y=

x

x-1

(x＞1)．
（2）由（1）知x+y=xy≥2

xy

，所以xy≥4．
令t=xy（t≥4），記△ABC的周長為l（t），則l（t）=AB+AC+BC=x+y+

x2+y2+xy

=xy+

(xy)2-xy

=t+

t2-t

∵l′（t）=1+

2t-2

2 t2-t

＞0，函數l（t）是[4，+∞）上的增函數，所以當t=4（x=y=2）時，l（t）_min=l（4）=4+2

3

；
記△ABC的面積為m（t），則m（t）=

1

2

xysin120°=

3

4

t≥

3

，當t=4（x=y=2）時，m（t）_min=m（4）=

3

．
故△ABC的周長和面積同時取得最小值，此三角形是“周積三角形”．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查函數的最值，考查新定義，解題的關鍵是正確求出函數的最值．