Question

如圖①，四邊形ABCD是矩形，AB=2AD=2a，E為AB的中點，在四邊形ABCD中，將△AED沿DE折起，使A到A′位置，且A′M⊥BC，得到如圖②所示的四棱錐A′-BCDE．
（Ⅰ）求證：A′M⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求四棱錐A′-BCDE的體積；
（Ⅲ）判斷直線A′D與BC的位置關系．

Answer 1

分析：（I）證明A′M⊥DE，結合A′M⊥BC，利用線面垂直的判定定理，即可得到結論；
（II）由（I）知A′M⊥平面BCDE，則A′M是四棱錐A′-BCDE的高，利用體積公式，即可求四棱錐A′-BCDE的體積；
（Ⅲ）直線A′D與BC是異面直線，利用反證法進行證明即可．

解答：（I）證明：在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D，
∵M為DE的中點，
∴A′M⊥DE，
∵A′M⊥BC，又DE與BC相交，
∴A′M⊥平面BCDE．
（II）解：由（I）知A′M⊥平面BCDE，則A′M是四棱錐A′-BCDE的高，
在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D=a，則A′M=

2

2

a．
∵四邊形BCDE是直角梯形，BE=BC=a，DC=2a，∴四邊形BCDE的面積S=

(a+2a)a

2

=

3

2

a²
∴四棱錐A′-BCDE的體積V=

1

3

S•A′M+

1

3

×

3

2

a²×

2

2

a=

2

4

a³
（III）解：直線A′D與BC是異面直線，理由如下：
假設直線A′D與BC共面，則直線A′D與BC確定平面α，所以A′、D、B、C，都在平面α上
∵D，B，C確定平面BCDE，則A′在平面BCDE上，這與已知矛盾
∴直線A′D與BC是異面直線．

點評：本題考查線面垂直，考查四棱錐體積的計算，考查反證法，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．