Question

己知在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且tanA=

3 bc

b2+c2-a2

（I ）求角A大小；
（II）當a=

3

時，求B的取值范圍和b²+c²的取值范圍．

Answer 1

分析：（I ） 利用銳角△ABC中，sinA=

3

2

，求出角A的大小．
（II）先求得 B+C=

2π

3

，根據B、C都是銳角求出B的范圍，由正弦定理得到b=2sinB，c=2sinC，
根據 b²+c²=4+2sin（2B-

π

6

） 及B的范圍，得

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，從而得到b²+c²的范圍．

解答：解：（I ）由題意得tanA=

3 bc

b2+c2-a2

=

3 bc

2bccosA

=

3

2cosA

=

sinA

cosA

，
∴sinA=

3

2

，故銳角A=

π

3

．
（II）當a=

3

時，∵B+C=

2π

3

，∴C=

2π

3

-B．由題意得

B＜ π 2 0＜ 2π 3 -B＜ π 2

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

．由

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，得 b=2sinB，c=2sinC，
∴b²+c²=4 （sin²B+sin²C）=4+2sin（2B-

π

6

）．
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，∴1≤2sin（2B-

π

6

）≤2．
∴5＜b²+c²≤6．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系，正弦定理得應用，其中判斷sin（2B-

π

6

）的取值范圍是本題的難點．