Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣2）ex+a（x+2）2（x＞0）．
（1）若f（x）是（0，+∞）的單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（2）當 時，求證：函數f（x）有最小值，并求函數f（x）最小值的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ex+（x﹣2）ex+2ax+4a，

∵函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．

∴ex+（x﹣2）ex+2ax+4a≥0，∴ ，

令 ， ，

∴ ，∴

（2）解：[f'（x）]′=xex+2a＞0，

∴y=f'（x）在（0，+∞）上單調遞增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，

∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0

∴x∈（0，t）時，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）時，f'（x）＞0，

當x=t時， 且有f'（t）=et（t﹣1）+2a（t+2）=0，

∴ ．

由（1）知 在t∈（0，+∞）上單調遞減， ，且 ，

∴t∈（0，1）．

∴ ， ，

∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，

∴f（x）的最小值的取值范圍是（﹣e，﹣1）

【解析】（1）求出函數的導數f'（x）=ex+（x﹣2）ex+2ax+4a，通過f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．得到 ，構造函數，利用導函數的單調性以及最值求解即可．（2）通過[f'（x）]′=xex+2a＞0，數碼y=f'（x）在（0，+∞）上單調遞增，利用零點判定定理說明存在t∈（0，1）使f'（t）=0，判斷x=t， ，推出 ．即 在t∈（0，+∞）上單調遞減，通過求解函數的最值，求解f（x）的最小值的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．