Question

已知函數f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
（1）求f（x）的振幅和最小正周期；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的值域；
（3）當x∈[-π，π]時，求函數f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）由三角函數的有關概念和周期公式，可算出f（x）的振幅A=2和最小正周期T=π；
（2）由x∈[0，

π

2

]得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，結合正弦函數的圖象與性質即可算出函數f（x）的值域；
（3）根據正弦函數的單調區間公式，解關于x的不等式

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z），再結合x∈[-π，π]取分別取k=-1和0，即可得到函數f（x）的單調遞減區間．

解答：解：（1）振幅為A=2                         …（1分）
函數最小正周期為：T=

2π

2

=π                  …（2分）
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x∈[0，π]
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，可得-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1    …（4分）
∴函數f（x）=2sin（2x-

π

6

）的值域為[-1，2]；                           …（6分）
（3）令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z）              …（7分）
解之得：

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，（k∈Z）                  …（8分）
∵x∈[-π，π]，且k∈Z
∴x∈[-

2π

3

，-

π

6

]∪[

π

3

，

5π

6

]…（11分）
∴當x∈[-π，π]時，函數f（x）的單調遞減區間是[-

2π

3

，-

π

6

]∪[

π

3

，

5π

6

]…（13分）

點評：本題給出復合型三角函數解析式，求函數的單調區間與值域，著重考查了三角函數的圖象與性質、函數值域的求法等知識，屬于中檔題．