Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分別是AB，BC的中點N在軸上．
（I）求證：PF⊥FD；
（II）在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD；
（III）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接AF，則AF=DF=

又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，PF?平面PAF
∴DF⊥PF；
（Ⅱ）解：過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有AH=
再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=AP，
∴平面GEH∥平面PFD，∴EG∥平面PFD．
從而滿足AG=AP的點G即為所求；
（Ⅲ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1
取AD的中點M，則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，
在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，所以∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴=，
∵PA=1，MD=1，PD=，且∠FMN=90°
∴MN=，FN=，cos∠MNF==．
分析：（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，利用線面垂直性質定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，進而可得PF⊥FD；
（Ⅱ）過點E作EH∥FD交AD于點H，過點H作HG∥DP交PA于點G，由此可確定G點位置，使得EG∥平面PFD；
（Ⅲ）確定∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，取AD的中點M，則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，確定∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，進而可得結論．
點評：本題考查線面垂直的判定，考查線面平行，考查面面角，解題關鍵是熟練掌握空間線面關系的判定，性質，正確作出面面角．