Question

（2012•商丘三模）已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2 2

3

，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6+4

2

．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設直線l：x=ky+m與橢圓M交手A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過橢圓的右頂點C，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6+4

2

，橢圓的離心率，建立方程，利用b²=a²-c²，可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）由直線與橢圓方程聯立，消元，由以AB為直徑的圓過橢圓右頂點C（3，0），可得 

CA

•

CB

=0，結合數量積公式及韋達定理，即可求m的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，可得 2a+2c=6+4

2

，即a+c=3+2

2

，…（1分）
又橢圓的離心率為

2 2

3

，即

c

a

=

2 2

3

，…（2分）
所以a=3，c=2

2

，
所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以橢圓M的方程為

x2

9

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由

x=ky+m x2 9 +y2=1

消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0．…（5分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有y1+y2=-

2km

k2+9

，y1y2=

m2-9

k2+9

．①…（6分）
因為以AB為直徑的圓過橢圓右頂點C（3，0），所以 

CA

•

CB

=0．…（7分）
由 

CA

=(x1-3，y1)，

CB

=(x2-3，y2)，得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（8分）
將x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 (k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0，…（10分）
將 ①代入上式得(k2+1)×

m2-9

k2+9

+k(m-3)×(-

2km

k2+9

)+(m-3)2=0
解得 m=

12

5

，或m=3．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，聯立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．