Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸上方，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）．

【解析】

（1）先對(duì)求導(dǎo)，然后對(duì)進(jìn)行分類，分別討論的單調(diào)性；

（2）方法一：對(duì)于的取值進(jìn)行分類：，考慮每種情況下對(duì)應(yīng)時(shí)的取值，由此確定的最大值；

方法二：對(duì)進(jìn)行分類，采用參變分離并分析新函數(shù)的最小值，由此得到的最大值.

（1），

當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí)，令，即，則 ,

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí) ，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）方法一：由已知得，當(dāng) 時(shí)，恒成立，

由（1）得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

，不合題意；

當(dāng)時(shí)，

對(duì)于任意有，故在單調(diào)遞減；

對(duì)于任意有，故在單調(diào)遞增，

因此當(dāng)時(shí)，有最小值為成立．

當(dāng)時(shí)，

對(duì)于任意有，故在單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>恒成立，所以只需，即，

綜上，的最大值為．

方法二：由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，，

（1）當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則，故在單調(diào)遞減，

因此，的最小值大于，所以．

（2）當(dāng)時(shí)，成立．

（3）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，成立．

綜上，的最大值為．