Question

為慶祝杭州第二中學第111周年校慶，某同學利用校徽排列出了下列（1）、（2）、（3）、（4）四個圖形，分別包含1個、5個、13個、25個校徽，按同樣的方式構造圖形，設第n（n∈N*）個圖形包含f（n）個校徽，則f（n）=

4n²-4n+1

．

Answer 1

分析：觀察四個圖形中校徽的個數，發現相鄰兩項當中，用后項減去前項，所得的數可以構成一個等差數列．因此可以用逐項作差，再累加的方法，用等差數列求和的公式，求出f（n）的值．

解答：解：∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25
∴f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，f（4）-f（3）=12=4×3
由此歸納出：f（n）-f（n-1）=4=4×（n-1）
接下來列出
f（2）-f（1）=4=4×1
f（3）-f（2）=8=4×2
f（4）-f（3）=12=4×3
…
f（n）-f（n-1）=4=4×（n-1）
累加，得f（n）-f（1）=4[1+2+3+…+（n-1）]=4×

(n-1)×n

2

=4n（n-1）
∴f（n）=4n（n-1）+f（1）=4n²-4n+1
故答案為：4n²-4n+1

點評：本題以數列模型為例，考查了歸納推理、等差數列的通項與求和等知識點，屬于中檔題．