Question

直角坐標系下，O為坐標原點，定點E（4，0），動點M（x，y）滿足•=x²．
（Ⅰ）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過定點F（1，0）作互相垂直的直線l₁，l₂分別交軌跡C于點M，N和點R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據動點M（x，y）滿足•=x²，建立方程，化簡即可得到結論；
（Ⅱ）設出直線l₁，l₂的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理及拋物線的定義，求出|MN|、|RQ|，表示出面積，利用基本不等式，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）由題意：動點M（x，y）滿足•=x²，
∴（-x，-y）•（4-x，-y）=x²，即y²=4x為點M的軌跡方程．…（4分）
（Ⅱ）由題易知直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，不妨設MN方程為y=k（x-1）
與y²=4x聯立得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴
由拋物線定義知：|MN|=|MF|+|NF|=…（7分）
同理RQ的方程為，求得|RQ|=4（k²+1）．…（9分）
∴．  …（13分）
當且僅當k²=1，k=±1時取“=”，
故四邊形MRNQ的面積的最小值為32．…（15分）
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．