Question

（2011•花都區模擬）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，-3），N（5，1），若動點C滿足

NC

=t

NM

且點C的軌跡與拋物線y²=4x交于A，B兩點．
（1）求證：

OA

⊥

OB

；
（2）在x軸上是否存在一點P（m，0）（m≠0），使得過點P的直線l交拋物線y²=4x于D，E兩點，并以線段DE為直徑的圓都過原點．若存在，請求出m的值及圓心M的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證兩向量垂直，通過向量的坐標運算，就是證明它們的數量積為0，將直線與拋物線的方程組成方程組，利用設而不求的方法求解；
（2）對于存在性問題，可設假設存在，本題中將垂直關系合理轉化，找出m的一個相等關系，從而解出了m的值，即說明存在．

解答：解：（1）由動點C滿足

NC

=t

NM

，知點C的軌跡是M、N兩點所在的直線，
又因為直線MN的方程為x-y-4=0
∴點C的軌跡方程為x-y-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x-y-4=0 y2=4x

得：
x²-12x+16=0
∴x₁•x₂=16，x₁+x₂=12
又y₁•y₂=（x₁-4）•（x₂-4）=-16
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴

OA

⊥

OB

；
（2）假設存在P（m，0）（m≠0），使得過點P的直線l交拋物線y²=4x 于D，E兩點，并以線段DE為直徑的圓都過原點，
由題意知：弦所在的直線的斜率不為零．故設弦所在的直線方程為：x=ky+m，
代入 y²=4x 得 y²-4ky-4m=0，設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
若以弦DE為直徑的圓都過原點，則OD⊥OE，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即

y 2 1

4

+

y 2 2

4

+y1y2=m²-4m，解得m=0 （不合題意，舍去）或 m=4．
∴存在點P（4，0），使得過P點任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點．
設弦D，E的中點為M（x，y） 
則x=

1

2

（x₁+x₂），y=

1

2

（ y₁+y₂）=2k，
x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k（y₁+y₂）+8=4k²+8，
∴x=2k²+4，y=2k，
∴消去k得弦D，E的中點M的軌跡方程為：y²=2x-8．
∴圓心的軌跡方程為y²=2x-8．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題及存在性問題．對于存在判斷型問題，解題的策略一般為先假設存在，然后轉化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現矛盾，則肯定存在；若出現矛盾，則否定存在．這是一種最常用也是最基本的方法，解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式及參數法求解．