Question

【題目】已知等差數列的公差大于0，且，是方程的兩根，數列的前項和為，且.

（1）求數列、的通項公式；

（2）設數列的前項和為，試比較與的大小，并用數學歸納法給予證明．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析

【解析】

（1）根據韋達定理可構造方程組求得和，從而得到公差和，根據等差數列通項公式可得；利用可證得為等比數列，根據等比數列通項公式求得；（2）通過列舉的結果可猜想當時，；根據數學歸納法的基本步驟，依次證明時成立，在成立的前提下時也成立，從而使問題得以解決.

（1）由韋達定理可得

因為的公差大于，所以，所以，

，又

可得：

因為，所以

當時，

所以，化簡得

所以是首項為，公比為的等比數列，即

所以，

（2）因為，所以，

下面比較與的大小：

當時，，，所以；

當時，，，所以；

當時，，，所以；

當時，，，所以.

猜想：當時，

下面用數學歸納法證明：

①當時，，，所以成立；

②假設當時，，即

那么，當時，

所以當時，也成立．

由①②可知，對任何，，都有成立

綜上所述，當時，；當時，