Question

【題目】已知橢圓，將其左、右焦點和短軸的兩個端點順次連接得到一個面積為的正方形.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于、兩點（均不在軸上），點，若直線、、的斜率成等比數列，且的面積為（為坐標原點），求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）y.

【解析】

（1）根據正方形面積為可得、的值，則橢圓方程可求；

（2）設、，由題意直線的方程為，根據韋達定理和直線的斜率以及等比數列的性質，可求出，再根據弦長公式，點到直線的距離公式，和三角形的面積公式即可求出的值，則直線的方程即可求出.

（1）將橢圓的左、右焦點和短軸的兩個端點順次連接得到一個面積為的正方形.

則，解得，所以，，

故橢圓的方程為；

（2）設點、，

聯立，整理得，

則，得，

由韋達定理得，，

由直線、、的斜率成等比數列，

則，

又，所以，即，則，

又，

即，解得或，均滿足，

又，，且、均不在軸上，則，

所以，，故直線的方程為.