Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），其中λ為常數(shù)．
（1）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，求出其通項公式；若不存在，說明理由；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．分兩種情況討論①數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，得λ²-λ+1=0，由△=1²-4=-3＜0知方程無實根，故不存在實數(shù)λ，②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，得2（2λ²+2λ+4）=（2λ+2）²，解得λ=1，a_n+1=a_n+2ⁿ，解得a_n=2ⁿ，故存在實數(shù)λ=1，使得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
（2）①當(dāng)λ=1時，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．②當(dāng)λ=2時，構(gòu)造等差數(shù)列{

an

2n

}求解，，③當(dāng)λ≠1且λ≠2時，構(gòu)造等比數(shù)列{an+

2n

λ-2

}是求解．

解答：解：（1）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．（1分）
①若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則a₁+a₃=2a₂，即2+（2λ²+2λ+4）=2（2λ+2），
得λ²-λ+1=0，由△=1²-4=-3＜0知方程無實根，
故不存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．（3分）
②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則a₁•a₃=a₂²，即2（2λ²+2λ+4）=（2λ+2）²，
解得λ=1，此時，a_n+1=a_n+2ⁿ，
由累加法得：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=2+2¹+2²++2^n-1=2ⁿ（n≥2），
顯然，當(dāng)n=1時也適合，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）．
故存在實數(shù)λ=1，使得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，其通項公式為a_n=2ⁿ（n∈N^*）．（6分）

（2）①當(dāng)λ=1時，a_n=2ⁿ（n∈N^*），故Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2．（7分）
②當(dāng)λ=2時，an+1=2an+2n?

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

，即數(shù)列{

an

2n

}是首項為1，
公差為

1

2

的等差數(shù)列，故

an

2n

=1+(n-1)•

1

2

，即a_n=（n+1）•2^n-1，
下用錯位相減法求S_n．S_n=2+3•2+4•2²++（n+1）•2^n-1，2S_n=2•2+3•2²++n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，
上面兩式相減，得S_n=-2-2-2²--2^n-1+（n+1）•2ⁿ=n•2ⁿ．（10分）
③當(dāng)λ≠1且λ≠2時，下用待定系數(shù)法求通項a_n．
令a_n+1+x•2ⁿ⁺¹=λ（a_n+x•2ⁿ），則a_n+1=λa_n+（λ-2）x•2ⁿ，
上式與a_n+1=λa_n+2ⁿ比較系數(shù)，得（λ-2）x=1，x=

1

λ-2

．
故數(shù)列{an+

2n

λ-2

}是首項為

2λ-2

λ-2

，公比為λ的等比數(shù)列，從而an+

2n

λ-2

=

2λ-2

λ-2

•λn-1，即an=

(2λ-2)•λn-1-2n

λ-2

．
因此，Sn=

(2λ-2)(1+λ+λ2+λn-1)-(2+22+23++2n)

λ-2

=

(2λ-2)• 1-λn 1-λ -2• 1-2n 1-2

λ-2

=

2(λn-2n)

λ-2

．
綜上所述，Sn=

n•2n(λ=2) 2(λn-2n) λ-2 (λ≠2)

．（14分）

點(diǎn)評：本題是一道數(shù)列綜合題，情景熟悉，貌似簡單，入手也不難，但綜合程度之高令人嘆為觀止．無論是分類討論的思想，還是反證推理、求數(shù)列通項和數(shù)列求和都考查得淋漓盡致，累加法和待定系數(shù)法求數(shù)列的通項、錯位相減法和分組求和法求數(shù)列的前n項和，幾乎數(shù)列的所有知識和方法都熔于一爐．