Question

（08年朝陽區綜合練習一文）（13分）

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1.

（Ⅰ）求證：∥ 平面；

（Ⅱ）求三棱錐A-A₁CB的體積；

（Ⅲ）求二面角A₁-CB-A的正切值.

 

 

 

Answer 1

 解析：方法1：

   （Ⅰ）解：

在三棱柱中C₁B₁∥CB，平面且平面

則∥ 平面.……3分

（Ⅱ）解：因為==×1×(1×1×sin120°)=.…………6分

（Ⅲ）解:

在平面ABC內過點A向BC做垂線AD，

交BC延長線于點D，連結A₁D.

因為A₁A⊥平面ABC，

所以A₁D⊥BD.

所以∠A₁DA是二面角A₁-CB-A的平面角.

容易求出AD=，

所以tan∠A₁DA===.

即二面角A₁-CB-A的正切值是………………………………………………13分

方法2：

如圖建立空間直角坐標系，

則有A(1，0，0)，A₁(1，0，1)，B(-，，0)，

B₁(-，，1)，C₁(0，0，1).

 

（Ⅰ）略.

（Ⅱ）略.

（Ⅲ）解：

顯然n₁=(0，0，1)是平面ABC的一個法向量.

設n₂=(x，y，z)是平面A₁BC的法向量，

則n₂?=0，且n₂?=0.

即x+z=0，且-x+y=0.

解得平面A₁BC的一個法向量是n₂=(1，，-1).

因為n₁?n₂=-1，| n₁|=1，| n₂|=，

設二面角A₁-CB-A的大小為β，

則cos(π-β)= -= -.所以cosβ=.

所以tanβ=.……………………………………13分