Question

在等比數列{a_n}中，首項a₁＜0，則{a_n}是遞增數列的充要條件是公比q滿足（　　）

A．q＞1

B．0＜q＜1

C．q＜1

D．q＜0

Answer 1

分析：先證必要性，由首項小于0，數列為遞增數列，可得公比q大于0，得到數列的各項都小于0，利用等比數列的性質化簡

an+1

an

，得到其比值為q，根據其比值小于1，得到公比q小于1，綜上，得到滿足題意的q的范圍；再證充分性，由0＜q＜1，首項為負數，得到數列各項都為負數，利用等比數列的性質化簡

an+1

an

，得到其比值為q，根據q小于1，得到a_n+1＞a_n，即數列為遞增數列，綜上，得到{a_n}是遞增數列的充要條件是公比q滿足0＜q＜1，得到正確的選項．

解答：解：先證必要性：
∵a₁＜0，且{a_n}是遞增數列，
∴a_n＜0，即q＞0，且

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，
則此時等比q滿足0＜q＜1，
再證充分性：
∵a₁＜0，0＜q＜1，
∴a_n＜0，
∴

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，即a_n+1＞a_n，
則{a_n}是遞增數列，
綜上，{a_n}是遞增數列的充要條件是公比q滿足0＜q＜1．
故選B

點評：此題考查了等比數列的性質，通項公式，以及充要條件的證明，熟練掌握等比數列的性質是解本題的關鍵．