Question

【題目】已知為橢圓的左、右頂點， 為其右焦點， 是橢圓上異于的動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓在點處的切線交于點，當點在橢圓上運動時，求證:以 為直徑的圓與直線恒相切.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析: （1）由題意知知，由此能求出橢圓的方程；
（2）設直線的方程為， 得.，由此利用韋達定理、點到直線距離公式、直線與圓相切等知識點結合已知條件能證明當點在橢圓上運動時，以 為直徑的圓與直線恒相切．

試題解析：(1)設橢圓的方程為,

由題意知解之得,

故橢圓的方程為.

(2)證明：設直線的方程為.

則點坐標為中點的坐標為.

由得.

設點的坐標為，則.

.

點坐標為,

當時，點的坐標為,直線軸，點的坐標為.

此時以為直徑的圓與直線相切.

當時，則直線的斜率.

直線的方程為.

點E到直線的距離.

又因為.

故以為直徑的圓與直線相切.

綜上得，當點在橢圓上運動時，以為直徑的圓與直徑恒相切.