Question

在三棱錐S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

2

，SA=SC=2，，二面角S-AC-B的余弦值是-

3

3

，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是（　　）

• A．8

  6

• B．

  6

  π
• C．24
• D．6π

Answer 1

分析：由AB⊥BC，得△ABC的外接圓的圓心O′為AC中點，連接SO′，BO′，可證OO′⊥底面ABC，將平面SO′B取出，求出SB，作SB的中垂線，過O′作BO′的垂線，兩者必相交于O，用余弦定理，求得cos∠O′BS，從而可知D，E，O三點重合了
，可得外接圓的半徑，即可求得球的表面積．

解答：解：由AB⊥BC，得△ABC的外接圓的圓心O′為AC中點，連接SO′，BO′，由SA=SC和AB=BC有SO′⊥AC，BO′⊥AC
而四面體外接球的球心O在平面SO′B內，連接OO′，有OO′⊥底面ABC
將平面SO′B取出，則BO′=1，SO′=

3

用余弦定理可得cos∠SO′B=-

3

3

∴SB=

6

作SB的中垂線，過O′作BO′的垂線，兩者必相交于O，用余弦定理，cos∠O′BS=

6

3

如圖，BE=O′B÷cos∠O′BS=

6

2

=

SB

2

也就是D，E，O三點重合了
外接圓的半徑R=OB=

6

2

∴球的表面積是4πR²=6π
故選D．

點評：本題考查面面角，考查球的表面積，解題的關鍵是確定外接圓的半徑，屬于中檔題．