Question

【題目】已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓．過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）是定值．

【解析】

試題（1）先利用拋物線的定義求出點的橫坐標，然后將點的橫坐標代入拋物線的方程并結合點所在的象限得到點的坐標，先計算出的長度，然后利用雙曲線的定義計算出的值，由確定的值，從而得到雙曲線的方程；（2）對直線的斜率存在與否分兩種情況討論，對直線的斜率不存在時進行驗證，在直線的斜率存在時，先假設直線的方程，然后根據直線與的位置關系得到直線的方程，并求出圓心到兩直線的距離，根據圓的半徑長、直線截圓的弦長和圓心距三者之間的關系求出兩直線截圓的弦長、，并進行驗證是否為定值.

試題解析：（1）∵拋物線的焦點為，

∴雙曲線的焦點為、， 1分

設在拋物線上，且，

由拋物線的定義得，，∴，∴，∴， 3分

∴， 4分

又∵點在雙曲線上，由雙曲線定義得：

，∴， ∴雙曲線的方程為：． 6分

（2）為定值．下面給出說明．

設圓的方程為：， ∵圓與直線相切，

∴圓的半徑為，故圓：． 7分

顯然當直線的斜率不存在時不符合題意， 8分

設的方程為，即，

設的方程為，即，

∴點到直線的距離為，

點到直線的距離為， 10分

∴直線被圓截得的弦長， 11分

直線被圓截得的弦長， 12分

∴， 故為定值． 14分