Question

已知函數f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）求函數f（x）的值域
（2）若關于x的不等式f（x）≥a²-3a-7在x∈[0，5]上恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）去掉絕對值符號，將函數化為分段函數的形式，解出值域即可；
（2）若滿足條件，則a²-3a-7小于等于f（x）最小值，求出函數f（x）在[0，5]上的最小值，得到不等式解出即可．

解答：解：（1）f(x)=

-x-5，x＜- 1 2 3x-3，- 1 2 ≤x≤4 x+5，x＞4

當x＜-

1

2

時，f(x)＞-

9

2

當-

1

2

≤x≤4時，-

9

2

≤f(x)≤9x＞4時，f（x）＞9
綜上，f(x)≥-

9

2

，值域[-

9

2

，+∞)
（2）由于f（x）≥a²-3a-7在x∈[0，5]上恒成立，
則使函數在[0，5]上最小值大于等于a²-3a-7即可
∵0≤x≤4時，f（x）=3x-3為增函數，∴-3≤f（x）≤9
又∵x＞4時，f（x）＞9∴x∈[0，5]時，f（x）≥-3
∴a²-3a-7≤-3，即a²-3a-4≤0，解得-1≤a≤4

點評：熟練掌握分類討論方法解含絕對值符號的不等式、恒成立問題等價轉化方法等是解題的關鍵．