Question

已知函數f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|，g（x）=（a+1）x，（a∈R，a≠-2）．
（1）若函數f（x）和g（x）在區間[lg|a+2|，（a+1）²]上都是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，比較f（1）與

1

6

的大小，寫出理由．

Answer 1

分析：（1）：觀察可以發現f（x）為一元二次函數，要使f（x）在區間[lg|a+2|，（a+1）²]上為減函數，只需對稱軸在區間的右側即可，g（x）為一次函數，要使為減函數只需（a+1）＜0就行，然后讓兩者同時成立，就可以求出實數a的取值范圍；
（2）先根據（1）的實數a的取值范圍求出f（1）的范圍，然后與

1

6

作差比較就行了．

解答：解：由題意知
（1）由g（x）=（a+1）x為減函數得：a＜-1
f(x)=(x+

a+1

2

)2+lg|a+2|-

(a+1)2

4

；
當-

a+1

2

≥(a+1)2，即-

3

2

≤a≤-1時，f（x）為減函數
∴當-

3

2

≤a＜-1時，f（x）和g（x）都是減函數
且此時，lg|a+2|＜0＜（a+1）²，
∴a的取值范圍是[-

3

2

，-1)
（2）由f(1)=a+2+lg|a+2|=a+2+lg(a+2)，(-

3

2

≤a＜-1)
令h（a）=f（1）=a+2+lg|a+2|=a+2+lg(a+2)，(-

3

2

≤a＜-1)
對任意-

3

2

≤a1＜a2＜-1，
h(a1)-(a2)=[a1+2+lg(a1+2)]-[a2+2+lg(a2+2)]=(a1-a2)+lg

a1+2

a2+2

＜0
所以h（a）在區間[-

3

2

，-1)上為增函數；
故f(1)=h(a)≥h(-

3

2

)=

1

2

-lg2 
∴f(1)-

1

6

≥

1

2

-lg2-

1

6

=

1

3

-lg2＞0
∴f（1）＞

1

6

．
故：（1）a的取值范圍是[-

3

2

，-1)；（2）f（1）＞

1

6

．

點評：本題主要考查一次函數和二次函數的單調性及利用作差法比較大小，屬中檔題．