Question

【題目】如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據邊角關系，求出CD⊥AD，由AD⊥CD，判斷出CD⊥平面PAD，再證明出結論；

（2）取AD中點O，則PO⊥AD，由（1）知，PO⊥平面ABCD，如圖，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面BCP和平面CDP的法向量，利用夾角公式求出即可．

（1）證明：因為，

所以，即.

因為為等邊三角形，

所以.

因為，

所以，即.

又因為，

所以平面，

又因為平面，

所以平面平面.

（2）解：取中點，則，由（1）知，平面.

如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，

則，

.

設平面的法向量為，平面法向量為，則

可取.

可取.

，

所以二面角的余值為.