Question

若A₁，A₂，…，A_m為集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N^*）的子集，且滿足兩個條件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②對任意的{x，y}⊆A，至少存在一個i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}．則稱集合組A₁，A₂，…，A_m具有性質P．
如圖，作n行m列數表，定義數表中的第k行第l列的數為akl=n=7．

a11	a12	…	a1m
a21	a22	…	a2m
…	…	…	…
an1	an2	…	anm

（Ⅰ）當n=4時，判斷下列兩個集合組是否具有性質P，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由；
集合組1：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合組2：A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}．
（Ⅱ）當n=7時，若集合組A₁，A₂，A₃具有性質P，請先畫出所對應的7行3列的一個數表，再依此表格分別寫出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）當n=100時，集合組A₁，A₂，…，A_t是具有性質P且所含集合個數最小的集合組，求t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的個數）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由集合組1具有性質P，所對應的數表知集合組2不具有性質P，因為存在{2，3}⊆{1，2，3，4}，有A_i∩{x，y}={x}或{y}矛盾，所以集合組A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}不具有性質P．
（Ⅱ）由題意得：A₁={3，4，5，7}，A₂={2，4，6，7}，A₃={1，5，6，7}．
（Ⅲ）設A₁，A₂，…，A_t所對應的數表為數表M，因為集合組A₁，A₂，…，A_t為具有性質P的集合組，所以集合組A₁，A₂，…，A_t滿足條件①和②，下面詳細分析條件①和②，求得t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．
解答：解：（Ⅰ）解：集合組1具有性質P．…（1分）
所對應的數表為：
集合組2不具有性質P．…（4分）
因為存在{2，3}⊆{1，2，3，4}，
有{2，3}∩A₁={2，3}，{2，3}∩A₂={2，3}，{2，3}∩A₃=∅，
與對任意的{x，y}⊆A，都至少存在一個i∈{1，2，3}，有A_i∩{x，y}={x}或{y}矛盾，所以集合組A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}不具有性質P．…（5分）
（Ⅱ）
A₁={3，4，5，7}，A₂={2，4，6，7}，A₃={1，5，6，7}．…（8分）
（注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同）
（Ⅲ）設A₁，A₂，…，A_t所對應的數表為數表M，
因為集合組A₁，A₂，…，A_t為具有性質P的集合組，
所以集合組A₁，A₂，…，A_t滿足條件①和②，
由條件①：A₁∪A₂∪…∪A_t=A，
可得對任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有x∈A_i，
所以a_xi=1，即第x行不全為0，
所以由條件①可知數表M中任意一行不全為0．…（9分）
由條件②知，對任意的{x，y}⊆A，都至少存在一個i∈{1，2，3，…，t}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}，所以a_xi，a_yi一定是一個1一個0，即第x行與第y行的第i列的兩個數一定不同．
所以由條件②可得數表M中任意兩行不完全相同．…（10分）
因為由0，1所構成的t元有序數組共有2^t個，去掉全是0的t元有序數組，共有2^t-1個，又因數表M中任意兩行都不完全相同，所以100≤2^t-1，
所以t≥7．
又t=7時，由0，1所構成的7元有序數組共有128個，去掉全是0的數組，共127個，選擇其中的100個數組構造100行7列數表，則數表對應的集合組滿足條件①②，即具有性質P．
所以t=7．…（12分）
因為|A₁|+|A₂|+…+|A_t|等于表格中數字1的個數，
所以，要使|A₁|+|A₂|+…+|A_t|取得最小值，只需使表中1的個數盡可能少，
而t=7時，在數表M中，1的個數為1的行最多7行；1的個數為2的行最多C₇²=21行；1的個數為3的行最多C₇³=35行；1的個數為4的行最多C₇⁴=35行；
因為上述共有98行，所以還有2行各有5個1，
所以此時表格中最少有7+2×21+3×35+4×35+5×2=304個1．
所以|A₁|+|A₂|+…+|A_t|的最小值為304．…（14分）
點評：本小題主要考查交、并、補集的混合運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．