Question

如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，側棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為

6

2

．
（1）求側面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值；
（3）問在棱AD上是否存在一點F，使EF⊥側面PBC，若存在，試確定點F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）取AD中點M，設PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，設AB=a，則可利用tan∠PAO表示出AO和PO，進而根據tan∠PMO=

PO

MO

求得tan∠PMO的值，則∠PMO可知．
（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．根據AO⊥BO，AO⊥PO判斷出AO⊥平面PBD，進而可推斷AO⊥OE，進而可知進而可知∠AEO為直線PD與AE所成角，根據勾股定理求得PD，進而求得OE，則tan∠AEO可求得．
（3）延長莫MO交BC于N，取PN中點G，連EG、MG．先證出平面PMN和平面PBC垂直，再通過已知條件證出MG⊥平面PBC，取AM中點F，利用
EG∥MF，推斷出MF=

1

2

MA=EG，可知EF∥MG．最后可推斷出EF⊥平面PBC．即F為四等分點．

解答：解：（1）取AD中點M，設PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，∠PAO為側棱PA與底面ABCD所成的角，tan∠PAO=

6

2

，
設AB=a， AO=

2

2

a，PO=AO•tan∠POA=

3

2

a，tan∠PMO=

PO

MO

=

3

∴∠PMO=60°．
（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．

AO⊥BD AO⊥PO ?AO⊥平面PBD                    OE?平面PBD

?AO⊥OE．
∵OE=

1

2

PD=

1

2

PO2+DO2

=

5

4

a
∴tan∠AEO=

AO

EO

=

2 10

5

（3）延長莫MO交BC于N，取PN中點G，連EG、MG．

BC⊥MN BC⊥PN

?BC⊥平面PMN?平面PMN⊥平面PBC．
又

PM=PN ∠PMN=60° ?△PMN為正△?MG⊥PN                    平面PMN∩平面PBC=PN

?MG⊥平面PBC
取AM中點F，∵EG∥MF∴MF=

1

2

MA=EG
∴EF∥MG．
∴EF⊥平面PBC．
即F為四等分點

點評：本題主要考查了二面角及其度量，解題的關鍵是通過巧妙設置輔助線找到二面角．