Question

【題目】已知函數f（x）=2x+2﹣x ．
（1）用定義法證明：函數f（x）是區間（0，+∞）上的增函數；
（2）若x∈[﹣1，2]，求函數g（x）=2x[f（x）﹣2]﹣3的值域．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設x2＞x1＞0，則：

=

= ，

∵x2＞x1＞0，∴ ， ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函數f（x）是區間（0，+∞）上的增函數

（2）∵x∈[﹣1，2]，∴ ，g（x）=2x[f（x）﹣2]﹣3=（2x）2﹣22x﹣2=（2x﹣1）2﹣3，

當2x=1時，g（x）min=﹣3；當2x=4時，g（x）max=6．

∴函數g（x）的值域為[﹣3，6]

【解析】（1）直接利用函數單調性的定義證明即可；（2）已知f（x）得到g（x）=（2x﹣1）2﹣3，利用二次函數的性質求值域即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域和函數單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．