Question

本小題滿分14分）

如圖,已知三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，設AB、PB、PC的中點分別為D、E、F，

若過D、E、F的平面與AC交于點G．

（Ⅰ）求證點G是線段AC的中點；

（Ⅱ）判斷四邊形DEFG的形狀，并加以證明；

（Ⅲ）若PA=8，AB=8，BC=6，AC=10，求幾何體BC-DEFG的體積．

 

Answer 1

【答案】

DEFG為矩形,

【解析】解：（Ⅰ）∵ED∥PA，則PA∥平面DEFG，而PA平面APC，

平面DEFG平面APC=FG，∴PA∥FG，

又F為PC的中點，因此G為AC的中點；……………………4分 

（Ⅱ）∵點E、D分別AB、PB中點，則∴ED∥PA，且EDPA，

同理FG∥PA，且FGPA，∴ED∥FG，且ED=FG，

∴DEFG為平行四邊形，由于PA⊥平面ABC，而 ED∥PA，

∴ED⊥平面ABC，∴ED⊥DG，因此DEFG為矩形. ………………9分 

（Ⅲ）取PA的中點K，連結(jié)KE、KF，則多面體PA—DEFG分成

三棱錐P—KEF和三棱柱KEF—ADG，則多面體PA—DEFG的體積為；

多面體BC—DEFG的體積為=；………………… 14分