Question

（本小題滿分12分）自然狀態下的魚類是一種可再生的資源，為了持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響。用表示某魚群在第年初的總量，，且。不考慮其他因素，設在第年內魚群的繁殖量及被捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數依次為正數其中稱為捕撈強度。
（1）求與的關系式；
（2）設，為了保證對任意，都有，則捕撈強度的最大允許值是多少？證明你的結論。

Answer 1

解：（1）從第年初到從第年初，魚群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為，依題意

即 
（2）若的值使得，由，知特別地有，即而，所以，以下去證當時，恒有，由此確定的允許最大值是1。
①當時，結論顯然成立。
②假設當時結論成立，即。
則當時，
因為，所以。
故當時結論也成立。
由①②可知對于任意恒有
綜上，為了保證對任意，都有，則捕撈強度的最大允許值是1

略