Question

【題目】已知函數．

（1）若在處導數相等，證明：為定值，并求出該定值；

（2）已知對于任意，直線與曲線有唯一公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）

【解析】

（1）求出原函數的導函數，結合在處導數相等及根與系數的關系可得，從而求得為定值6；（2）由，可知函數在的圖象為下凸，在的圖象為上凸，求得函數的極大值點，再由直線過點，然后對分類討論求使直線與曲線有唯一公共點的實數的取值范圍．

（1）證明：，，

由題意得，，

則

；

（2）解：，

函數在的圖象為下凸，在的圖象為上凸，

記，求得處的切線為，再記，

由，求得的極大值點為，

①當時，直線與曲線顯然只有唯一公共點；

②當時，直線斜率為正，且與曲線有三個公共點，舍去；

③當時，直線斜率為正，且與曲線有三個公共點，舍去；

④當時，若，在直線上方，直線與曲線的上凸部分有唯一公共點，與下凸部分不相交；

若，直線與曲線）交于P點，與上凸部分和下凸部分均不相交；

若，在直線下方，直線y=kx+a與曲線的下凸部分有唯一公共點，與上凸部分不相交，此種情況成立．

綜上，的取值范圍為．