Question

已知不等式++…+＞［log₂n］,其中n為大于2的整數,［log₂n］表示不超過log₂n的最大整數,設數列{a_n}的各項為正,且滿足a₁=?b(b＞0),a_n≤,n=2,3,4,…

(1)證明a_n＜,n=3,4,5,…，

(2)猜測數列{a_n}是否有極限?如果有,寫出極限的值(不必證明)；

(3)試確定一個正整數N,使得當n＞N時,對任意b＞0,都有a_n＜.

Answer 1

(1)證法1：∵當n≥2時,0＜a_n≤,

∴≥=+,

即-≥.

于是有-≥,-≥,…,-≥._?

所有不等式兩邊相加可得_?

-≥++…+._?

由已知不等式知,當n≥3時有,-＞［log₂n］.

∵a₁=b,∴＞+［log₂n］=.

∴a_n＜，n=3,4,5….

證法2:設f(n)=++…+,首先利用數學歸納法證不等式a_n≤,n=3,4,5,….

①當n=3時,

由a₃≤=≤=,知不等式成立.

②假設當n=k(k≥3)時,不等式成立,即a_k≤,

則a_k+1≤=

≤

=

=

=,

即當n=k+1時,不等式也成立.

由①②知,a_n≤,n=3,4,5,…

又由已知不等式得_?

a_n＜,n=3,4,5,…

(2)解：有極限,且a_n=0.

(3)解：∵,

令＜,_?

則有log₂n≥［log₂n］＞10n＞2¹⁰=1 024.

故取N=1 024,可使當n＞N時,都有a_n＜.