Question

設兩非零向量e₁和e₂不共線.

（1）如果=e₁+e₂,=2e₁+8e₂,=3(e₁,-e₂),求證：A、B、D三點共線；

（2）試確定實數k,使ke₁+e₂和e₁+ke₂共線.

Answer 1

思路分析：本題主要考查向量基本定理和向量共線的條件.（1）可以將e₁,e₂看作一組基底表示我們需要的向量，如，=+=2e₁+8e₂+3e₁-3e₂=5e₁+5e₂然后利用向量共線條件進行證明.（2）由于向量ke₁+e₂,e₁+ke₂都是用基底e₁,e₂表示出來的兩個向量，既然兩向量共線，就可以用共線條件得到（ke₁+e₂）=λ(e₁+ke₂),解出k值即可.

（1）證明：∵=e₁+e₂,

+

=2e₁+8e₂+3e₁-3e₂

=5(e₁+e₂)=5,

∴、BD共線.又有公共點B，∴A、B、D三點共線.

（2）解：∵ke₁+e₂與e₁+ke₂共線，

∴存在λ使ke₁+e₂=λ(e₁+ke₂),

則（k-λ）e₁=(λk-1)e₂.由于e₁與e₂不共線，

∴只能有則k=±1.

溫馨提示

     題目中已給出一組基底e₁,e₂，則該平面中任一向量都可以與之建立聯(lián)系，以該基底為紐帶，可以溝通不同向量之間的聯(lián)系.本題要證三點共線,由這三點中任意兩點確定兩個向量.然后用基底e₁,e₂表示，并依據向量共線的條件來證明這兩個向量共線.又這兩個向量有公共點，于是證三點共線.