Question

如圖，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）設E是DC上一點，試確定E的位置，使得D₁E∥平面A₁BD，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB∥DC，AD⊥DC，知AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB=AD=1，所以BD=，BC=，由此能證明BD⊥平面B₁BCC₁．
（2）DC的中點即為E點．由DE∥AB，DE=AB，知四邊形ABED是平行四邊形．故AD∥BE．由此能夠證明D₁E∥平面A₁BD．
解答：（1）證明：∵AB∥DC，AD⊥DC，
∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB=AD=1，
∴BD=，
易求BC=，
又∵CD=2，∴BD⊥BC．
又BD⊥BB₁，B₁B∩BC=B，

∴BD⊥平面B₁BCC₁．
（2）DC的中點即為E點．
∵DE∥AB，DE=AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
∴AD∥BE．
又AD∥A₁D₁，∴BE∥A₁D₁，
∴四邊形A₁D₁EB是平行四邊形．∴D₁E∥A₁B．
∵D₁E?平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD．
點評：本題考查直線垂直于平面的證明，考查平面與平面平行的應用．綜合性強，具有一定的探索性，對數學思想能力要求較高．解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．