Question

已知三次函數在和時取極值，且．

（Ⅰ） 求函數的表達式；

（Ⅱ）求函數的單調區間和極值；

（Ⅲ）若函數在區間上的值域為，試求、n應滿足的條件。

Answer 1

（Ⅰ）．     （Ⅱ）函數在區間上是增函數；------------------7分

在區間上是減函數；在區間上是增函數．

函數的極大值是，極小值是． 

（Ⅲ）、n應滿足的條件是：，且

解析:

（Ⅰ），                                            

由題意得，是的兩個根，

解得，．                              ------------------2分

再由可得．

∴．  ------------------4分

（Ⅱ），

當時，；當時，；------------------5分

當時，；當時，；------------------6分

當時，．∴函數在區間上是增函數；------------------7分

在區間上是減函數；在區間上是增函數．

函數的極大值是，極小值是．           ------------------9分

（Ⅲ）函數的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到，

所以，函數在區間上的值域為（）．-------------10分

而，∴，即．                                    

于是，函數在區間上的值域為．------------------12分

令得或．

由的單調性知，，即．

綜上所述，、應滿足的條件是：，且------------------14分