Question

已知函數f(x)=

3

sinx•cosx+sin2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）函數f（x）的圖象可由函數y=sin2x的圖象經過怎樣的變換得出？

Answer 1

分析：（I）利用二倍角、輔助角公式化簡函數，即可求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）利用“左加右減，上加下減”，即可得到結論．

解答：解：（I）∵函數f(x)=

3

sinx•cosx+sin2x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

∴函數f（x）的最小正周期為π；　…（5分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)⇒kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，
∴f（x）的單調遞增區間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）．　…（8分）
（Ⅱ）∵f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

=sin2(x-

π

12

)+

1

2

，
∴先由函數y=sin2x的圖象向右平移

π

12

個單位，再把圖象向上平移

1

2

個單位，即可得到函數f（x）的圖象．…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．