Question

已知直線l：x=my+1（m∈R）與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)B．，且當(dāng)m=0時(shí)，|EF|=．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），直線AE，AF與直線x=3分別交于M，N兩點(diǎn)．試判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)B？并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，直線l的方程為x=1，設(shè)點(diǎn)E在x軸上方，
由，解得E（1，），F(xiàn)（1，-）．
所以|EF|==，解得t=2．
所以橢圓C的方程為．
（2）由，得（2m²+9）y²+4my-16=0，顯然m∈R．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則y₁+y₂=，y₁y₂=．
x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
又直線AE的方程為y=，
由，解得M（3，），
同理得N（3，）．又B（1，0），
所以=（2，），=（2，），
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/755.png' />•=（2，）•（2，）
=4+=4+
=
=
==0．
所以，所以以MN為直徑的圓過點(diǎn)B．
分析：（1）m=0時(shí)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立解得E，F(xiàn)坐標(biāo)，據(jù)|EF|=得到關(guān)于t的方程，解出即可．
（2）由消x得到關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由韋達(dá)定理可用m表示y₁，y₂，根據(jù)已知條件可求出M，N坐標(biāo)，判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)B，只需判斷是否有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為是否有•=0，通過計(jì)算即可驗(yàn)證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．