Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x2

，其中a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得f（-x）=-f（x），即-x+

a

x2

=-x-

a

x2

，由此求得a的值．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，可得f′(x)=1-

2a

x3

≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≤

1

2

x3在[2，+∞）上恒成立，求得y=

1

2

x3在[2，+∞）上的最
小值y_min=4，可得a≤4，驗(yàn)證知當(dāng)a≤4滿(mǎn)足條件．

解答：解：（Ⅰ）解：因?yàn)?span id="wtqxlvf" class="MathJye">f(x)=x+

a

x2

是奇函數(shù)． 所以f（-x）=-f（x），其中x∈R且x≠0．…（2分）
即-x+

a

x2

=-x-

a

x2

，其中x∈R且x≠0．
所以a=0．…（6分）
（Ⅱ）解：f′(x)=1-

2a

x3

．…（8分）
因?yàn)閒（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以 f′(x)=1-

2a

x3

≥0在[2，+∞）上恒成立，…（9分）
即a≤

1

2

x3在[2，+∞）上恒成立，
因?yàn)?span id="wxtlyjs" class="MathJye">y=

1

2

x3在[2，+∞）上的最小值y_min=4，
所以 a≤4，驗(yàn)證知當(dāng)a≤4時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．