Question

甲、乙、丙3人投籃，投進的概率分別是

1

3

，

2

5

，

1

2

．
（1）現3人各投籃1次，求3人都沒有投進的概率；
（2）用ξ表示乙投籃10次的進球數，求隨機變量ξ的概率分布及數學期望Eξ和方差Dξ；
（3）若η=4ξ+1，求Eη和Dη．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別記“甲、乙、丙投籃1次投進”為事件A₁、A₂、A₃，“3人都沒有投進”為事件A，由相互獨立事件概率的乘法公式，計算可得答案；
（2）根據題意，隨機變量ξ的可能值有0，1，2，3，進而由隨機變量的概率分布與期望的計算方法，計算可得答案．
（3）由已知η=4ξ+1，根據方差的性質求得η的均值、方差即可．

解答：解：（1）記“甲投籃1次投進”為事件A₁，“乙投籃1次投進”為事件A₂，“丙投籃1次投進”為事件A₃，
“3人都沒有投進”為事件A．
則P（A₁）=

1

3

，P（A₂）=

2

5

，P（A₃）=

1

2

，
∴P（A）=(

.

A1

.

A2

.

A3

)
=P (

.

A1

)•(

.

A2

)•(

.

A3

)
=[1-P（A₁）]•[1-P（A₂）]•[1-P（A₃）]
=（1-

1

3

）（1-

2

5

）（1-

1

2

）
=

1

5

∴3人都沒有投進的概率為

1

5

．
（2）隨機變量ξ的可能值有0，1，2，3，…，10．
ξ～B（10，

2

5

），
P（ξ=k）=C₁₀^k（

2

5

）^k（

3

5

）^10-k（k=0，1，2，…，10），
Eξ=np=10×

2

5

=4．
方差Dξ=np（1-p）=10×

2

5

×

3

5

=

12

5

．
（3）若η=4ξ+1，由（2）得，
Eη=E（4ξ+1）=4Eξ+1=4×4+1=17
Dη=D（4ξ+1）=4²Dξ=16×

12

5

=

192

5

．

點評：本題考查相互獨立事件的概率的乘法公式與隨機變量的概率分布及數學期望的計算，能力上考查學生的分析問題、解決問題的能力，是高考熱點．