Question

對于函數，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點．如果函數f(x)＝有且僅有兩個不動點0和2．

(Ⅰ)試求b、c滿足的關系式；

(Ⅱ)若c＝2時，各項不為零的數列{a_n}滿足4S_n?f()＝1，求證：＜＜；

(Ⅲ)設b_n＝－，T_n為數列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

Answer 1

解析：(Ⅰ)設

∴ ………………………………2分

(Ⅱ)∵c＝2   ∴b＝2    ∴，

由已知可得2S_n＝a_n－a_n²……①，且a_n≠1．

當n≥2時，2 S_{n -1}＝a_n－1－a_n－1² ……②，

①－②得(a_n＋a_n－1)( a_n－a_n－1＋1)＝0，∴a_n＝－a_n－1   或  a_n＝－a_n－1 ＝－1，

當n＝1時，2a₁＝a₁－a₁² a₁＝－1，

若a_n＝－a_n－1，則a₂＝1與a_n≠1矛盾．∴a_n－a_n－1＝－1， ∴a_n＝－n．………………4分

∴要證待證不等式，只要證 ，

即證 ，

只要證 ，即證 ．

考慮證不等式(x＞0) **．…………………………………………………6分

令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－  (x＞0) ．

∴g '(x)＝， h '(x)＝，

∵x＞0，  ∴g '(x)＞0，   h '(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函數，

∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0時，．

令則**式成立，∴＜＜，……………………………………9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知b_n＝，則T_n＝．

在中，令n＝1，2，3，……，2008，并將各式相加，

得，

即T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．…………………………………………………………………12分