Question

已知點(diǎn)，動點(diǎn)N（x，y），設(shè)直線NP，NQ的斜率分別記為k₁，k₂，記（其中“?”可以是四則運(yùn)算加、減、乘、除中的任意一種運(yùn)算），坐標(biāo)原點(diǎn)為O，點(diǎn)M（2，1）．
（Ⅰ）探求動點(diǎn)N的軌跡方程；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，動點(diǎn)N的軌跡再加上P，Q兩點(diǎn)記為曲線C，直線l平行于直線OM，且與曲線C交于A，B兩個不同的點(diǎn)．
（ⅰ）若原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求出直線l在y軸上的截距m的取值范圍．
（ⅱ）試求出△AOB面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由斜率公式直接寫出k₁，k₂，然后直接利用加，減，乘，除運(yùn)算整理得動點(diǎn)N的軌跡方程；
（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的和與積，利用原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部得到，代入根與系數(shù)關(guān)系即可求得m的范圍；
（ⅱ）利用弦長公式求出弦長，由點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，代入面積公式后利用配方法求最值，并得到三角形面積最大時的直線方程．
解答：解：（Ⅰ）由兩點(diǎn)求斜率得，
當(dāng)“?”表示加法時：．
當(dāng)“?”表示減法時：．
當(dāng)“?”表示乘法時：．
當(dāng)“?”表示乘法時：；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，曲線C為橢圓，
設(shè)直線A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立直線與橢圓的方程得：x²+2mx+2m²-4=0，
由△＞0⇒0＜m²＜4，
…（*）
（ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，故，
∴，
將（*）代入得
所以m得取值范圍為：
（ⅱ）原點(diǎn)O到直線l的距離，
弦長
，
令f（m）=4m²-m⁴=-（m²-2）²+4∈（0，4]
故得當(dāng)且僅當(dāng)m²=2，即時，
面積的最大值S_max=2．
此時的直線l的方程為：．
點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，把原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部轉(zhuǎn)化為數(shù)量積小于0是解答該題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．