Question

在正方體AC₁中，已知E、F、G、H分別是CC₁、BC、CD和A₁C₁的中點．證明：
（1）AB₁∥GE，AB₁⊥EH；
（2）A₁G⊥平面EFD．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，證明=2，•=0，即可得到結論；
（2）證明•=0，•=0，即可得到結論．
解答：證明：如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0），D（0，1，0）、A₁（0，0，1）、B₁（1，0，1）、C₁（1，1，1）、D₁（0，1，1），
由中點性質得E（1，1，）、F（1，，0），G（，1，0）、H（，，1）．
（1）則=（1，0，1），=（，0，），=（-，-，）
∵=2，•=1×（-）+1×=0，
∴∥，⊥．
即AB₁∥GE，AB₁⊥EH．
（2）∵=（，1，-1），=（1，-，0），=（1，0，），
∴•=-+0=0，•=+0-=0，
∴A₁G⊥DF，A₁G⊥DE．
又DF∩DE=D，
∴A₁G⊥平面EFD．
點評：本題考查向量知識的運用，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．