Question

【題目】設數列{an}按三角形進行排列，如圖，第一層一個數a1 ， 第二層兩個數a2和a3 ， 第三層三個數a4 ， a5和a6 ， 以此類推，且每個數字等于下一層的左右兩個數字之和，如a1=a2+a3 ， a2=a4+a5 ， a3=a5+a6 ， …．

（1）若第四層四個數為0或1，a1為奇數，則第四層四個數共有多少種不同取法？
（2）若第十一層十一個數為0或1，a1為5的倍數，則第十一層十一個數共有多少種不同取法？

Answer 1

【答案】
（1）解：若第二層的兩個數為0或1，則a1=a2+a3，由a1為奇數，可得第二層的兩個數有2種不同的取法；

若第三層的三個數為0或1，則a1=a4+2a5+a6，由a1為奇數，可得第三層的三個數有4種不同的取法；

若第四層四個數為0或1，則a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1為奇數，可得第四層的四個數有8種不同的取法

（2）解：根據（1）中結論，若第十一層十一個數為0或1，

則a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，

若a1為5的倍數，則a56，a66中一個為1，一個為0，

a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，

即a57，a58，…，a65中有2個1或2個0，

則第十一層十一個數共有 =144種不同取法

【解析】（1）若第四層四個數為0或1，則a1=a7+2a8+2a9+a10 ， 由a1為奇數，可得a7 ， a10中一個為1，一個為0，進而得到答案；（2）若第十一層十一個數為0或1，a1為5的倍數，則a56 ， a66中一個為1，一個為0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，進而得到答案．
【考點精析】通過靈活運用歸納推理，掌握根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理即可以解答此題．