Question

已知過點A（-4，0）的動直線l與拋物線C：x²=2py（p＞0）相交于B、C兩點．當l的斜率是

1

2

時，

AC

=4

AB

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出B，C的坐標，利用點斜式求得直線l的方程，與拋物線方程聯立消去x，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據

AC

=4

AB

求得y₂=4y₁，最后聯立方程求得y₁，y₂和p，則拋物線的方程可得．
（2）設直線l的方程，AB中點坐標，把直線與拋物線方程聯立，利用判別式求得k的范圍，利用韋達定理表示出x₁+x₂，進而求得x₀，利用直線方程求得y₀，進而可表示出AB的中垂線的方程，求得其在y軸上的截距，根據k的范圍確定b的范圍．

解答：解：（1）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由已知k₁=

1

2

時，l方程為y=

1

2

（x+4）即x=2y-4．
由

x2=2py x=2y-4

得2y²-（8+p）y+8=0
①②∴

y1y2=4 y1+y2= 8+p 2

又∵

AC

=4

AB

，∴y₂=4y₁③
由①②③及p＞0得：y₁=1，y₂=4，p=2，即拋物線方程為：x²=4y．

（2）設l：y=k（x+4），BC中點坐標為（x₀，y₀）
由

x2=4y y=k(x+4)

得：x²-4kx-16k=0④
∴x0=

xA+xB

2

=2k，y0=k(x0+4)=2k2+4k．
∴BC的中垂線方程為y-2k2-4k=-

1

k

(x-2k)
∴BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k²+4k+2=2（k+1）²
對于方程④由△=16k²+64k＞0得：k＞0或k＜-4．
∴b∈（2，+∞）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解決此類問題要充分發揮判別式和韋達定理在解題中的作用．