Question

設關于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R），若方程有實數解，實數b的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：用換元法，可將方程轉化為一個二次方程，然后利用一元二次方程根是否有根的判斷方法，易構造出一個關于b的不等式，解不等式即可得到實數b的取值范圍．

解答：解：令t=2^x（t＞0）
則原方程可化為：t²-2t-b=0（t＞0）
關于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R），若方程有實數解，
即方程t²-2t-b=0有正根
∵t₁+t₂=

1

2

＞0
∴當△=4+4b≥0時，即可滿足條件
即b≥-1
故答案為：[-1，+∞）

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，利用換元法將方程轉化為一個一元二次方程是解答本題的關鍵，但在換元過程中，要注意對中間元取值范圍的判斷．