Question

已知函數f（x）=x²-（m+1）x+4．
（Ⅰ）當x∈（0，1]時，若m＞0，求函數F（x）=f（x）-（m-1）x的最小值；
（Ⅱ）若函數G（x）=2^f（x）的圖象與直線y=1恰有兩個不同的交點A（x₁，1），B（x₂，1）（0≤x₁＜x₂≤3），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）F（x）=f（x）-（m-1）x=x²-2mx+4，x∈（0，1]，對稱軸x=m（m＞0），對m分類討論，即可得到函數F（x）=f（x）-（m-1）x的最小值；
（Ⅱ）G（x）=2^f（x）=2x2-(m+1)x+4與直線y=1=2⁰恰有兩個不同的交點A（x₁，1），B（x₂，1）（0≤x₁＜x₂≤3），等價于關于x的方程x²-（m+1）x+4=0在[0，3]上有兩個不等的實數根，建立不等式組，即可確定實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=f（x）-（m-1）x=x²-2mx+4，x∈（0，1]
對稱軸x=m（m＞0），
①當0＜m≤1時，F（x）_min=F（m）=4-m²，
②當m＞1時，F（x）_min=F（1）=5-2m，
∴F（x）_min=

5-2m，m＞1 4-m2，0＜m≤1

（Ⅱ）G（x）=2^f（x）=2x2-(m+1)x+4與直線y=1=2⁰恰有兩個不同的交點A（x₁，1），B（x₂，1）（0≤x₁＜x₂≤3），等價于關于x的方程x²-（m+1）x+4=0在[0，3]上有兩個不等的實數根
∴

△=(m+1)2-16＞0 0＜ m+1 2 ＜3 f(0)=4＞0 f(3)=9-3(m+1)+3≥0

，解得3＜m≤

10

3

，
∴實數m的取值范圍為(3，

10

3

]．

點評：本題考查二次函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查方程的根的討論，考查函數與方程思想，屬于中檔題．