Question

已知函數y=|x|+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

(x+

1-t

x

)（x＞0）的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三個根，其中0＜t＜1．
（Ⅰ）求證：a²=2b+3；
（Ⅱ）設（x₁，M），（x₂，N）是函數f（x）=x³+ax²+bx+c的兩個極值點．
①若|x1-x2|=

2

3

，求函數f（x）的解析式；
②求|M-N|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用函數的單調性求出前三個函數的最小值，代入x³+ax²+bx+c=0可得a²=2b+3．
（Ⅱ）x₁，x₂是方程f'（x）=3x²+2ax+b=0的根?有x1+x2=-

2a

3

，x1x2=

b

3

△=（2a）²-12b＞0，得b＜3 
  ①利用兩根之差的絕對值和兩根之和，兩根之積的關系，可以求得a，b，c，即得．
  ②|M-N|的取值即為兩函數值之間的關系，利用根與系數的關系進行轉化，在利用所求b＜3或a＜-1代入即可．

解答：解：（Ⅰ）三個函數的最小值依次為1，

1+t

，

1-t

，（3分）
由f（1）=0，得c=-a-b-1
∴f（x）=x³+ax²+bx+c=x³+ax²+bx-（a+b+1）=（x-1）[x²+（a+1）x+（a+b+1）]，
故方程x²+（a+1）x+（a+b+1）=0的兩根是

1-t

，

1+t

．
故

1-t

+

1+t

=-(a+1)，

1-t

•

1+t

=a+b+1．（4分）
(

1-t

+

1+t

)2=(a+1)2，即2+2（a+b+1）=（a+1）²
∴a²=2b+3．（5分）
（Ⅱ）①依題意x₁，x₂是方程f'（x）=3x²+2ax+b=0的根，
故有x1+x2=-

2a

3

，x1x2=

b

3

，
且△=（2a）²-12b＞0，得b＜3．
由|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 a2-3b

3

=

2 3-b

3

（7分）

2 3-b

3

=

2

3

；得，b=2，a²=2b+3=7．
由（Ⅰ）知

1-t

+

1+t

=-(a+1)＞0，故a＜-1，
∴a=-

7

，c=-(a+b+1)=

7

-3
∴f(x)=x3-

7

x2+2x+

7

-3．（9分）
②|M-N|=|f（x₁）-f（x₂）|
=|（x₁³-x₂³）+a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）|
=|x₁-x₂|•|（x₁+x₂）²-x₁x₂+a（x₁+x₂）+b|
=

2 3-b

3

|(-

2a

3

)2-

b

3

+a•(-

2a

3

)+b|
=

4

27

(3-b)

3

2

（或

4

27

(

9-a2

2

)

3

2

）．（11分）
由（Ⅰ）(a+1)2=(

1-t

+

1+t

)2=2+2

1-t2

∵0＜t＜1，∴2＜（a+1）²＜4，
又a＜-1，
∴-2＜a+1＜-

2

，
-3＜a＜-

2

-1，3+2

2

＜a2＜9（或

2

＜b＜3）（13分）
∴0＜|M-N|＜

4

27

(3-

2

)

3

2

．（15分）

點評：函數的極值表示函數在某一點附近的情況，是在局部上對函數值的比較；函數的最值表示函數在一個區間上的情況，是對函數在整個區間上的函數值的比較．函數的極值不一定是最值，函數的最值也不一定是極值．