Question

f(x)=

-x2+ax， x≤1 ax-1，  x＞1

若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實數a的取值范圍是

（-∞，2）

．

Answer 1

分析：若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則f（x）不是單調函數，結合二次函數和一次函數的圖象和性質，分類討論不同情況下函數的單調性，綜合討論結果可得答案．

解答：解：由題意得，即在定義域內，f（x）不是單調的．
分情況討論：
（1）若x≤1時，f（x）=-x²+ax不是單調的，
即對稱軸在x=

a

2

滿足

a

2

＜1，
解得：a＜2
（2）x≤1時，f（x）是單調的，
此時a≥2，f（x）為單調遞增．
最大值為f（1）=a-1
故當x＞1時，f（x）=ax-1為單調遞增，最小值為f（1）=a-1，
因此f（x）在R上單調增，不符條件．
綜合得：a＜2
故實數a的取值范圍是（-∞，2）
故答案為：（-∞，2）

點評：本題考查的知識點是函數的性質及應用，其中根據已知分析出函數f（x）不是單調函數，是解答的關鍵．