Question

已知直線l₁：x-y=0，l₂：x+y=0，點P是線性約束條件所表示區域內一動點，PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分別為M、N，且（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在過點（2，0）的直線l與（Ⅰ）中軌跡交于點A、B，線段AB的垂直平分線交y軸于Q點，且使得△ABQ是等邊三角形．若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設P（x₀，y₀），由題意有l₁⊥l₂，且PM⊥l₁，PN⊥l₂，
∴四邊形PMON是矩形，
∴S_PMON=2S_△MON=|PM|•|PN|=1，
∴，
∴|x₀²-y₀²|=2，
∵P在所表示的區域內，
∴x₀²-y₀²=2（x₀＞0），
所以求得動點P的軌跡方程為x²-y²=2（x＞0）．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l．
當l⊥x軸時，有l：x=2．
此時|AB|=，，△ABQ不是正三角形．
當l不垂直x軸時，設l：y=k（x-2），
并設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，
得（1-k²）x²+4k²-2=0，
△=8k²+8＞0恒成立，
∵l與雙曲線的右支交于兩點，
∴|k|＞1．
∴，

∴線段AB的中點，
∴線段AB的垂直平分線為，
∴，
∵△ABQ是等邊三角形，
∴．
分析：（Ⅰ）設P（x₀，y₀），由題意有l₁⊥l₂，且PM⊥l₁，PN⊥l₂，四邊形PMON是矩形，所以S_PMON=2S_△MON=|PM|•|PN|=1，故，由此能求出動點P的軌跡方程．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l．當l⊥x軸時，有l：x=2．此時|AB|=，，△ABQ不是正三角形．當l不垂直x軸時，設l：y=k（x-2），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（1-k²）x²+4k²-2=0，△=8k²+8＞0恒成立，由此能夠推導出．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．